【LeetCode】5.最长回文子串

题目描述

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

输入: "babad"
输出: "bab"

注意: “aba” 也是一个有效答案。
示例 2：

输入: "cbbd"
输出: "bb"

思路一

常见错误

有些人会忍不住提出一个快速的解决方案，不幸的是，这个解决方案有缺陷(但是可以很容易地纠正)：

反转S，使之变成S′。找到S 和S′   之间最长的公共子串，这也必然是最长的回文子串。

这似乎是可行的，让我们看看下面的一些例子。

例如，S = “caba”, S' = “abac”；

S 以及S′之间的最长公共子串为“aba”，恰恰是答案。

尝试一下这个例子：S= “abacdfgdcaba”,
                S' = “abacdgfdcaba”；
S 以及 S′之间的最长公共子串为 “abacd”，显然，这不是回文。

当 SS 的其他部分中存在非回文子串的反向副本时，最长公共子串法就会失败。为了纠正这一点，每当我们找到最长的公共子串的候选项时，都需要检查子串的索引是否与反向子串的原始索引相同。如果相同，那么我们尝试更新目前为止找到的最长回文子串；如果不是，我们就跳过这个候选项并继续寻找下一个候选。

这给我们提供了一个复杂度为 O(n^2) 动态规划解法，它将占用 O(n^2)的空间（可以改进为使用 O(n) 的空间）。

思路二 （动态规划）

为了改进暴力法，我们首先观察如何避免在验证回文时进行不必要的重复计算。考虑“ababa” 这个示例。如果我们已经知道“bab”是回文，那么很明显，“ababa”一定是回文，因为它的左首字母和右尾字母是相同的。

我们给出 P(i,j)P(i,j) 的定义如下：

如果子串是回文子串其他情况
$$f(i,j)=
\begin{cases}
true& \text{如果子串Si…Sj是回文子串}\
false& \text{其他情况}
\end{cases}$$

因此，

P(i,j) = (P(i+1,j-1) and S_i==S_j)

基本示例如下：

P(i,j) = true; 
P(i,i+1) = (S_i == S_i+_1)

这产生了一个直观的动态规划解法，我们首先初始化一字母和二字母的回文，然后找到所有三字母回文，并依此类推…

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2),这里给出我们的运行时间复杂度为 O(n^2)。

空间复杂度：O(n^2)，该方法使用O(n^2)的空间来存储表。

具体代码

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        if(s.empty()) return s;
        int dp[s.size()][s.size()] = {0};
        int left = 0,right = 0,len = 0;
        for(int i=0;i<s.size();++i){
            for(int j=0;j<i;++j){
                dp[j][i] = (s[i] == s[j] && (i-j<2) || dp[j+1][i-1]);
                if(dp[j][i] && len < i-j+1){
                    len = i-j+1;
                    left = j;
                    right = i;
                }
            }
            dp[i][i] = 1;
        }
        return s.substr(left,right-left+1);
    }
};